【不等式常见公式】在数学学习中，不等式是重要的基础内容之一，广泛应用于代数、几何、函数分析等多个领域。掌握常见的不等式公式不仅有助于解题，还能提升逻辑思维能力和数学素养。以下是对一些常见不等式的总结，并通过表格形式进行归纳整理。
一、基本不等式
| 不等式名称 | 公式表达 | 说明 | ||||||
| 基本不等式（均值不等式） | $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $（当且仅当 $ a = b $ 时取等号） | 适用于正实数 $ a, b $ | ||||||
| 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 对任意实数 $ a, b $ 成立 |
| 绝对值不等式 | $ | a | \leq b \Leftrightarrow -b \leq a \leq b $（$ b > 0 $） | 用于解绝对值不等式 | ||||
| 平方差不等式 | $ a^2 + b^2 \geq 2ab $ | 可由均值不等式推导而来 |
二、二次不等式
对于形如 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $ 的不等式，解法通常与判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ 和开口方向有关。
| 判别式情况 | 解集范围 | 说明 |
| $ \Delta > 0 $ | 若 $ a > 0 $，则解为 $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $；若 $ a < 0 $，则解为 $ x_1 < x < x_2 $ | $ x_1, x_2 $ 是方程的两个实根 |
| $ \Delta = 0 $ | 若 $ a > 0 $，则解为 $ x \neq x_1 $；若 $ a < 0 $，则无解 | 方程有唯一实根 |
| $ \Delta < 0 $ | 若 $ a > 0 $，则恒成立；若 $ a < 0 $，则无解 | 方程无实根 |
三、不等式性质
| 性质 | 表达式 | 说明 |
| 加法性质 | 若 $ a > b $，则 $ a + c > b + c $ | 不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变 |
| 乘法性质 | 若 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac > bc $；若 $ c < 0 $，则 $ ac < bc $ | 乘以正数不等号方向不变，乘以负数改变方向 |
| 移项性质 | 若 $ a + b > c $，则 $ a > c - b $ | 可将项移到另一边，符号改变 |
| 同向相加 | 若 $ a > b $ 且 $ c > d $，则 $ a + c > b + d $ | 同向不等式可相加 |
四、其他重要不等式
| 不等式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 柯西不等式 | $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | 适用于向量或实数序列 |
| 权方和不等式 | $ \frac{a_1^p}{b_1^{p-1}} + \frac{a_2^p}{b_2^{p-1}} + \cdots + \frac{a_n^p}{b_n^{p-1}} \geq \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^p}{(b_1 + b_2 + \cdots + b_n)^{p-1}} $ | 适用于正实数和参数 $ p > 1 $ |
| 排序不等式 | 设 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则 $ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} \geq a_1b_n + \cdots + a_nb_1 $ | 与排列顺序相关 |
五、总结
不等式是数学中不可或缺的一部分，掌握其常见公式和性质能够帮助我们更高效地解决实际问题。本文通过总结常见的不等式类型及其应用，结合表格形式进行了清晰的呈现，便于记忆和复习。建议在学习过程中多做练习，加深对不等式本质的理解，从而提升解题能力。
