【常用定积分公式】在数学分析中，定积分是一个重要的工具，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握一些常见的定积分公式，可以大大提高解题效率。以下是对一些常用定积分公式的总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本定积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | 说明 |
| $\int_a^b dx$ | $b - a$ | 常数函数的积分 |
| $\int_a^b x^n dx$（$n \neq -1$） | $\frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n + 1}$ | 幂函数的积分 |
| $\int_a^b e^x dx$ | $e^b - e^a$ | 指数函数的积分 |
| $\int_a^b \sin x dx$ | $-\cos b + \cos a$ | 正弦函数的积分 |
| $\int_a^b \cos x dx$ | $\sin b - \sin a$ | 余弦函数的积分 |
| $\int_a^b \frac{1}{x} dx$（$x > 0$） | $\ln b - \ln a$ | 对数函数的积分 |
| $\int_a^b \frac{1}{x^2} dx$ | $-\frac{1}{b} + \frac{1}{a}$ | 幂函数的积分（$n = -2$） |
二、对称区间上的定积分
| 积分表达式 | 积分结果 | 说明 |
| $\int_{-a}^{a} x^n dx$（$n$ 为奇数） | 0 | 奇函数在对称区间上的积分为零 |
| $\int_{-a}^{a} x^n dx$（$n$ 为偶数） | $2 \cdot \int_0^a x^n dx$ | 偶函数在对称区间上的积分可简化为两倍的非负部分 |
| $\int_{-a}^{a} \sin x dx$ | 0 | 正弦函数是奇函数 |
| $\int_{-a}^{a} \cos x dx$ | $2 \sin a$ | 余弦函数是偶函数 |
三、特殊函数的定积分
| 积分表达式 | 积分结果 | 说明 |
| $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$ | 1 | 指数衰减函数的积分 |
| $\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} dx$ | $\frac{\pi}{2}$ | 与反正切函数相关 |
| $\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2 + a^2} dx$（$a > 0$） | $\frac{\pi}{2a}$ | 一般形式 |
| $\int_0^{\infty} e^{-ax^2} dx$（$a > 0$） | $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ | 高斯积分 |
| $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$ 或 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx$ | 与贝塔函数或伽马函数有关 | 常用于概率和统计 |
四、常见不定积分与定积分的关系
定积分可以通过计算对应的不定积分并代入上下限得到。例如：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
五、小结
定积分在数学中具有广泛应用，掌握其基本公式和性质对于学习高等数学、物理以及工程学科至关重要。通过合理利用对称性、特殊函数的积分公式以及基本积分法则，可以高效地解决许多实际问题。
以上内容整理自常见的数学教材和参考资料，旨在帮助学习者快速回顾和应用这些重要的定积分知识。
