【二次函数求根公式】在数学中，二次函数是最常见的一类多项式函数，其标准形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中，$ a \neq 0 $，且 $ a $、$ b $、$ c $ 为常数。求解二次函数的根，即找出使 $ y = 0 $ 的 $ x $ 值，是数学学习中的一个重要内容。
一、二次函数求根公式简介
求解二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根，通常使用求根公式（也称为求根公式或判别式法）。该公式如下：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
这个公式适用于所有实数系数的二次方程，并能给出所有的解（包括实数和复数解）。
二、公式的推导原理
二次函数的求根公式可以通过配方法推导而来。具体步骤如下：
1. 从标准形式 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 开始；
2. 将方程两边同时除以 $ a $，得到：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
$$
3. 移项得：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
$$
4. 配方：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
5. 左边变为完全平方：
$$
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
$$
6. 开平方并整理，得到最终公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
三、根的判别与类型
根据判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ 的值，可以判断二次方程的根的情况：
| 判别式 $ \Delta $ | 根的情况 | 举例说明 |
| $ \Delta > 0 $ | 有两个不相等的实数根 | $ x_1 = 1, x_2 = 2 $ |
| $ \Delta = 0 $ | 有一个实数重根（两个相同根） | $ x = 3 $ |
| $ \Delta < 0 $ | 有两个共轭复数根 | $ x = 1+i, x=1-i $ |
四、实际应用举例
以下是一个典型的二次方程求解示例：
题目： 解方程 $ 2x^2 - 4x - 6 = 0 $
步骤：
1. 确定系数：$ a = 2 $，$ b = -4 $，$ c = -6 $
2. 计算判别式：
$$
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64
$$
3. 代入公式求根：
$$
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4}
$$
4. 得到两个解：
$$
x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1
$$
五、总结
二次函数的求根公式是解决二次方程的重要工具，能够快速准确地找到方程的解。通过判别式 $ \Delta $ 可以判断根的性质，从而帮助我们更好地理解方程的图像和行为。掌握这一公式，对进一步学习函数、图像分析及实际问题建模具有重要意义。
| 内容项 | 说明 |
| 公式名称 | 二次函数求根公式 |
| 适用范围 | 所有形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程 |
| 根据判别式判断 | 实数根、重根、复数根 |
| 应用场景 | 数学问题求解、物理运动分析、经济模型等 |
